6.4 Passeio aleatório

O passeio aleatório é representado por $\tag{4.6}y_t=y_{t-1}+\epsilon_t$ em que $\epsilon_t\sim RB(0,\sigma^2)$. Portanto, o valor da série em $t$ é igual ao valor da série em um instante anterior somado a um erro de média zero e variância constante.

É possível escrever o passeio aleatório em função de $y_0$: $$y_t=y_0+\sum_{i=1}^t{\epsilon_i}$$ ### Testes de raiz unitária A raiz unitária indica que a série é uma realização de um processo estocástico não-estacionário. Portanto, uma série com raiz unitária precisa ser diferenciada para se tornar estacionária:

$$y_t= y_{t-1} + \epsilon_t$$ $$y_t-(y_{t-1}) = y_{t-1} - (y_{t-1}) + \epsilon_t$$ $$\nabla y_t= e_{1t}$$ O número de diferenças necessárias para tornar uma série estacionária é chamado de ordem de integração da série. No exemplo acima, a primeira diferença de um passeio aleatório é estacionária e, portanto, passa a ser um ruído branco.

Um processo é dito ser integrado de ordem d se uma série temporal {$y_t_{t=1}^T$} é não estacionária. Porém, após d diferenças, o resultado é uma série temporal estacionária e, portanto, pode ser modelada por um modelo ARMA(p,q).

Para realizar o teste da raiz unitária, os mais utilizados é o teste Aumentado de Dickey-Fuller (ADF).